Calculatrice de PGCD et PPCM

Comment ça marche

Le plus grand commun diviseur (PGCD) est calculé avec l’algorithme d’Euclide : on remplace le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit, jusqu’à obtenir un reste nul. Pour plus de deux nombres, on répète l’opération deux à deux.

Le plus petit commun multiple (PPCM) découle du PGCD : ppcm(a, b) = |a × b| ÷ pgcd(a, b), là encore deux à deux. Tous les calculs se font en entiers exacts, si bien que même des nombres de 30 chiffres donnent des résultats exacts.

L’algorithme d’Euclide pas à pas

Exemple pour 1071 et 462 : chaque ligne divise le diviseur précédent par le reste ; le dernier reste non nul est le PGCD.

• 1071 = 2 × 462 + 147
• 462 = 3 × 147 + 21
• 147 = 7 × 21 + 0 → gcd = 21

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) · lcm(a, b) = |a × b| ÷ gcd(a, b)

À quoi ça sert

• PGCD : simplifier une fraction, par exemple 18/24 devient 3/4 après division par le PGCD 6.
• PPCM : trouver un dénominateur commun, ou quand des événements répétés coïncident à nouveau (tous les 4 et tous les 6 jours → tous les 12 jours).
• PGCD : découper carreaux, rangées ou groupes en parts égales sans reste.

Conseils

• Deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1 ; ils peuvent pourtant être composés tous les deux, comme 8 et 9.
• Pour deux nombres positifs, pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = a × b : une vérification pratique.
• Zéro est accepté : pgcd(a, 0) = a, mais tout PPCM contenant 0 vaut 0.

Normes et sources

• Algorithme d’Euclide · NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures
• Plus petit commun multiple · NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures

Dernière révision 20 octobre 2026